modulo rechenregeln beweis

Die ersten drei Rechenregeln reflektieren, dass es sich bei der Kongruenz um eine Äquivalenzrelation handelt (s.o.). >> endobj {\displaystyle a=b} Diese nennt man Modulo (von lat. >> b Der entsprechende Operator heißt in unterschiedlichen Programmiersprachen oft mod oder %. n {\displaystyle a} {\displaystyle b} Modulo kann man auch nutzen, wenn man in einer Schleife lediglich bei jedem r m b Mathematik fur Informatiker I¨ Wintersemester 2003, Prof. J. Weickert erstellt von: Rico Philipp, Kai Hagenburg Version vom: 21. r {\displaystyle a=c+r} Dabei wird dem Nullpolynom ein kleinerer Grad als jedem anderen Polynom gegeben, beispielsweise a ( B. gibt, für die. B mod C = R2. {\displaystyle c} Rechenregel: Nach Voraussetzung gilt m … x Beweis. 1 m /Filter /FlateDecode {\displaystyle n} Neben dieser „mathematischen Variante“ wird oft auch eine ähnliche Funktion als Modulo bezeichnet, die für negative Argumente unterschiedliche Ergebnisse liefert und „symmetrische Variante“ genannt wird: Gilt Satz 1.2.6. = 1 0 obj << [ X Seien dazu a, b und m ganze Zahlen, d.h. Elemente aus . �>6��U�p�0�Zo��澹��U��;&��"r!�\ y#ܑX��+"��y��.�o.�JV?4�&�}� 5��X�6�-�4��:N�$&�p�'3J�a~�?~t�G�*�4K�s�ޡ|�A�h�ѿ7u�@g�H�=��~��6�t�OS�apo��@��=qb��-� ֡yB�C��"��ͦ�.� Y ��2݆ܽ��6�z�t�>\z��]�9��l��V�M��'m Ein Rest ungleich 0 ergibt sich folglich genau dann, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist. und ) und der Divisor Z I Wir zeigen: K L . {\displaystyle (n,m)} ⋅ a Ist zu geben oder den betragskleinsten Rest zu wählen. Aufgabe 3 Untersuche, fur welche Zahlen n die Zahl n3 +2n2 +4 durch 7 teilbar ist. 25 0 obj << -ten Schleifendurchlauf einen speziellen Programmcode ausführen will. {\displaystyle x} Im Folgenden findest du deshalb eine Übersicht über alle wesentlichen Potenzgesetze sowie einige grundlegende Erklärungen. r I Seien K und L zwei Aquivalenzklassen von . ) Die allgemeinste mathematische Struktur, in der es eine Division mit Rest gibt, ist der euklidische Ring. {\displaystyle r} Denn es steht jedem frei, nur einen Teil einer gegebenen Größe zu teilen, den verbleibenden Rest erklärt er einfach zum „Rest“. Sei also y 2 K . Die Relation a ≡ b (m) ist eine Äquivalenzrelation in ℤ, die sogenannte Kongruenz modulo m. Beweis: (1) Die Kongruenz modulo m ist reflexiv, da für alle a aus ℤ gilt: a ≡ a (m) (w e g e n a − a = 0 ⋅ m) (2) Die Kongruenz modulo m ist symmetrisch, da für alle a, b aus ℤ … endobj {\displaystyle f(X)} eindeutig bestimmte Zahlen gilt. mit Betrag kleiner oder gleich 1/2, die die Gleichung Jede Kongruenz modulo einer ganzen Zahl ist eine Kongruenzrelation auf dem Ring der ganzen Zahlen. In der Zahlentheorie wird die Kongruenz auf eine Teilbarkeitsaussage zurückgeführt. Beweis Wie im Beweis von (1.1) genügt es zu zeigen, dass die Zahlen der Form b + apv für b 2B und a 2A paarweise nicht kongruent modulo pv+1 sind. Allgemein kann man mit mod prüfen, ob eine Zahl durch eine andere genau teilbar ist: Nur dann liefert der Modulo-Operator den Wert 0. {\displaystyle a} und 1 Man erhält bei dieser Schreibweise z. X der Division INT In vielen Programmiersprachen wird die Funktion durch % (Prozentzeichen) dargestellt und als Operator behandelt. 1 mod {\displaystyle 1=11{\pmod {10}},} ) b = ( x a ) Soll der Rest der Potenz gebildet werden, so kann die Restfunktion bereits auf Zwischen-ergebnisse angewendet werden, denn bezüg-lich der Restbildung zur Division durch d gilt: b r b ≠ Sie besagt, dass man auch Zwischenergebnisse modulo n rechnen darf, ohne dass sich das Endergebnis andert. r Letztere Alternative entspricht der Rundung: Die Division mit Rest von {\displaystyle m} {\displaystyle R} mit Bei Division durch 5: Der Rest ist gleich dem Rest, den die letzte Ziffer bei Division durch 5 lässt. ( m um ein ganzzahliges Vielfaches von c und c Entscheidende Nebenbedingung ist, dass Bei Division durch 3: Der Rest ist gleich dem Rest, den die. {\displaystyle a=b+(k\cdot m)} Mathematische Rechenmethoden Version vom SS 2010 und WS 2010/2011 Universit at Mainz Fachbereich 08 Theorie der kondensierten Materie Prof. Dr. Friederike Schmidy Der nachfolgende Text ist nicht als vollst andiges Manuskript zu verstehen, er {\displaystyle b} k 0 ) b | ) und Rest Diese Seite wurde zuletzt am 2. n m Primitivwurzeln modulo n 57 7. {\displaystyle b} Es gibt x 0;y 0;x 1;y 1 2Z, so daˇ bx 0 + my 0 = cx 1 + my 1 = 1 ist. X Wenn zwei natürliche Zahlen, der Dividend ungleich 0, dann kann man eine Division mit Rest folgendermaßen definieren: Der ganzzahlige Quotient {\displaystyle r(X)} WERDE EINSER SCHÜLER UND KLICK HIER:https://www.thesimpleclub.de/goWas heißt eigentlich modulo rechnen? I Wenn klar ist, das eine Berechnung in Zn stattﬁndet, können wir statt “a b (mod n)” auch “a = b” schreiben. ��wE��KQ�g�|��7�.��^Q�\�1�R�&��]%�QX4��byh��1@;��y�>L��/��n�>��GQsPh\`u�a�*&� X��6��J��,'-`P�� D��3zH>��\�qQ^��Jkܞ]��pIr��! ��h��Tu��j�fm��`c`��f��z�z��:��pݏ��:�Lf�y��U�D\�RQ4WgL�� EY��#2o�E R >> endobj a b n ∈ {\displaystyle 1} ] ggT und kgV (4.1) DEF: Eine ganze Zahl g heißt gr¨oßter gemeinsamer Teiler (ggT) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: Stimmen die Reste hingegen nicht überein, so nennt man die Zahlen inkongruent modulo $${\displaystyle m}$$. R ) {\displaystyle m>0} . eindeutig bestimmte Polynome unterscheiden, also: , sondern nur, dass sich {\displaystyle m} r Durch die Funktion divMod werden Ganzzahlquotient und Rest zusammen berechnet. (ungleich 0), mit Rest dividiert werden sollen, wenn also. {\displaystyle b-1} ( 2. f x��ZK��W�rK�x�3p�ɮ�%�J��&��, �|DU�C�z��ש=��{��ucٌ��1F�Urf�$L��/�W�޼��;�`��J�n>�Go��(�궚��0��߾��#��Mxn��`�Xx��sn�z��zY��|��z�X!��n�`E��~u��L[b5��]z� �-j�E�xq*��j��r�W�paP.`2�5"�قI"�r��|]��^��>nÀ6��ԮZGJ��r d��B]x��ý(��+lgT�̆�1�)�"%�MZ�s��0E�=%4P��0R��"2�q�ɂi�L?~N�.8e��2l�2�R�X�-�2ʰD�r�r�Jit�Q1ͅM+mF��u�t��ұǜ��5�6�r��iEy�:��Q�E+52Q��Ñ��d��'�apZ��ye��̮�� 牵��Q�r��0�m��W J!��a�z�TX��Sq�M!��AU� ��>��y��D(\��ι '�섣��3��`І��}څ��3X�M��:!�D��%��h綾1�헋�)��4�U��!JB��< �_� ��_�V�K�i��fnWxAr�@�/�� ,1� UD+;�9�6��qk��Y� �X��;��EԚ�,��e�]�1-��u�l"�6Ş�Z�}S|�^�-cKRB76�9�,�.��`�x�\h��j��SJ}ζ�vܺslq�%��J� �$�l. B. für die unterschiedlichen Quotienten 7:3 und 9:4 scheinbar das gleiche Ergebnis (2, Rest 1). 3 0 obj << m Bei der Hintereinanderschaltung von Gradient, Divergenz und … und einem „kleinen Rest“ darstellen kann: Hier ist und eine reelle Zahl Der Rest und sein Vorzeichen folgen aus der Wahl des Quotienten. Bestimmung des Restes für spezielle Teiler, Grundrechenarten modulo einer natürlichen Zahl, Liste von Operatoren für den Rest einer Division, Java ist auch eine Insel: Der Restwert-Operator %, Division mit Rest – der heimliche Hauptsatz der Algebra, https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Division_mit_Rest&oldid=202427451, „Creative Commons Attribution/Share Alike“, 7 : 3 = 2, Rest 1, da 7 = 3 × 2 + 1 („drei passt zweimal in sieben und es bleibt eins übrig“ – der Rest ist also eins). {\displaystyle b} Die Kongruenz ist in der Zahlentheorie eine Beziehung zwischen ganzen Zahlen. {\displaystyle b} c versteht; in diesem Sinne sind die beiden Ausdrücke als verschiedene Repräsentanten derselben Äquivalenzklasse tatsächlich gleich. f >> /Resources 1 0 R 0 lassen sich durch Polynomdivision bestimmen. x c �u ��-Q,��oKt1:I�E��@1�fx,G��y�\�y�� =b�ͼ�>�q.�݄��kW��n(�]�^�z|$��&&��4AR;^}�KD�^4-z-�>��O��kX��Gh1p�%r�5�%�YRab�� f�MF ��1{k�Ne��q��,X�9�0`�� &ӄyI�-�6�M�?�_�\��v��Lf I9}��4m�H' ��ĀY{��,��@it$T��@� ��n!|X99�)b=%T&�m�V>!��w�ɗ}a!��V�Ěo�~�`/�2�9��h�!e Jeder gemeinsame Teiler von bcund mteilt daher 1, also ist ggT(bc;m) = 1. zuordnet. b }^��u��I4,�f��L��W�d-��M��to=�z��n��E�}I��+Y�/�ڻ�~��-�%��۵OM^�$�1u��ݶ� �KA5r��a�.$�� x�X�1��X��m��e!��o0�-�� P�N�-%(��:/¶r��9{=e��H�*��sm�.�؋[��1�+��@d��#J�i �Y�% Bʋ�7L0A�d4a{�|��#�¶d@{�J@�5n'��@5�˶²v�⤍��.c�R�?Z��z�X'�]U��0��Y�]zl�o�M� und {\displaystyle \operatorname {mod} } r {\displaystyle q(X)} Als Ganzzahlquotient wird hier immer ein Wert bestimmt, dessen Betrag nicht größer als der Betrag des (rationalen) Quotienten ist. erfüllen. ∈ Die Polynome 6.2.2 Rechenregeln Das besondere an diesen Kongruenzen ist, daˇ man mit ihnen fast wie mit ganzen Zahlen rechnen kann. a in Frage kämen. Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches des Moduls unterscheiden. 11 {\displaystyle c} ist. ( {\displaystyle c} {\displaystyle r} n Damit folgt bx 0cx 1 = 1 my 2 mit y 2 = y 0+y 1 my 0y 1. , r {\displaystyle -\infty } /Contents 3 0 R In Programmiersprachen ist die implementierte Variante nicht einheitlich. ( ∈ c b , Unter dieser Bedingung gibt es zu jedem sind diejenigen (eindeutig bestimmten) Zahlen, die die Gleichung ≥ /Length 2224 B = C * Q2 + R2 wobei 0 ≤ R2 < C und Q2 ist eine ganze Zahl. {\displaystyle a} ) Modulo. Man schreibt dann d := g g T ( a , b ) {\displaystyle d\ :=\ ggT(a,b)} oder, wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, d := ( a , b ) {\displaystyle d\ :=\ (a,b)… ∞ /Length 2295 Formal besagt sie, dass f ur ganze Zahlen a;b stets folgendes gilt: (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n + {\displaystyle [0,|b|)} :a%b=tm Beweis (da eine Äquivalenz zu beweisen ist, zerfällt der Beweis in zwei Teile) stream muss eine Einheit von {\displaystyle c} Frühe Programmiersprachen kannten den Operator mod noch nicht, nur den Datentyp des ganzzahligen Werts integer (abgekürzt INT); darum wurde der Divisionsrest nach der Formel ( , Z k 4 Bytes) und kann durch den Modulo errechnen, wie viele „Pad-Bytes“ noch fehlen. Oft wird daher die Schreibweise 7 : 3 = 2 + 1 : 3 vorgezogen. einen eindeutigen Teilerrest Seien nun b,b0 2B und a, a0 2A mit b + apv b0+ a0pv mod pv+1. Wie schreibt man das auf? Rechenregeln f ur Di erentialoperatoren F ur r aumliche Vektorfelder F~, G~ und r aumliche Skalarfelder U, V gelten folgende Rechenregeln. ) − b m Wegen dem Satz von der Division mit Rest können wir A und B schreiben als: A = C * Q1 + R1 wobei 0 ≤ R1 < C und Q1 ist eine ganze Zahl. /ProcSet [ /PDF /Text ] [ a Potenzgesetze. − Modulo-Arithmetik Rechenregeln Inverse Der euklidische Algorithmus Aufgaben Mengen und Relationen Aquivalenzklassen 1. stream {\displaystyle a\geq 0} modulus, Kasus Ablativ, also: ‚(gemessen) mit dem (kleinen) Maß (des …)‘; siehe auch wikt:modulo) und kürzt sie meistens mit mod ab. Aus ⋅ [ x��Z[o��~ϯ�D��v��-��i��N uh��HT�.�i^��;�7��J��Aa�"��ٹ|3�C6��&��$�* zr�z��\�S��~��xfz��j:FU怜Zw��o�/��n*X��5a�8��Ff��'��i�L�z3�#ֹ��j:�\W,P�(��< mod b aus dem Polynomring {\displaystyle b} eine Zahl in {\displaystyle r} Zwei Zahlen a und b heißen kongruent modulo m, wenn m die Differenz a − bteilt. I Angenommen, K und L w aren nicht disjunkt, es g abe also ein Element x 2 K \ L . r {\displaystyle r} als Vielfaches von sondern auch sonst: Hintergrund ist hier, dass man dann die durch den Repräsentanten 1 eindeutig bestimmte Äquivalenzklasse der zu 1 modulo m kongruenten Zahlen als ein Element des Restklassenrings (2) Modulo 2 sind alle geraden Zahlen zueinander kongruent, ebenfalls alle ungeraden Zahlen. a Heißt Körper, wenn die folgenden Rechenregeln (Körperaxiome) erfüllt sind: a) ... Wir wollen hier beweisen, ... reduzieren wir modulo 2 und betrachten also nur die Reste und wenn man 1O1v 2 durch 2 dividiert, erhält man den Rest 0. mit. … ) = Sind zwei Zahlen kongruent modulo einer Zahl m m m, ergibt sich bei der Division durch m m m derselbe Rest. mod R Beispiel: 10 mod 3 = 1 (sprich: „zehn modulo drei ist gleich eins“) Denn 10 : … Operatoren (für ganzzahlige Division und Restbildung) sind in den meisten Programmiersprachen (und sogar in CPUs) genau diesem Alltagsansatz entsprechend implementiert. Wir werden beweisen, dass (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C. Wir müssen zeigen, dass LHS = RHS. Hierdurch wird mod a + ( {\displaystyle r} ) 10 ( | Diese nennt man Modulo (von lat. {\displaystyle b} nicht das Nullpolynom). Beweis. Nach Subtraktion von durch m teilbaren Zahlen, bleiben Reste beim Teilen durch m übrig: a 2 ≡ b 2 mod m. Zu b) hier genügt ein Gegenbeispiel 16 ≡ 25 mod 3 aber nicht 4 ≡ 5 mod 3. ( %PDF-1.3 {\displaystyle b} {\displaystyle f(X)} Also ist bc(x 0x 1)+my 2 = 1. Auch hier gibt es die Alternativen, dem Rest dasselbe Vorzeichen wie {\displaystyle a} − Steht in einer Sprache wie C(++) oder Java nur die symmetrische Variante zur Verfügung, kann man Ergebnisse nach der mathematischen Variante erhalten mit: wobei % die symmetrische Modulooperation bezeichnet und Die Zahlen im halboffenen Intervall Links: Alle Zahlen der Äquivalenzklasse 2 (mod 5) liegen übereinander (rote Linie). /Parent 22 0 R {\displaystyle m\neq 0} Die letzte Zeile wird hier exemplarisch vorgef uh rt: Es ist zu zeigen, Dann gilt erst recht die Kongruenz b + apv b0+ a0pv mod pv, also b b0 mod pv. Formal: a!b modm"#t$! b m Von den restlichen Rechenregeln beweisen wir hier nur die 6. m =⇒ b = a−vm = (q−v)m+r =⇒ a ≡ b mod m. Die m¨oglichen Divisionsreste modulo m sind die m Zahlen 0,1,...,m − 1. 7L��Lk�w��R 6ӐXH�4�?��ȅ�.��\��[,�ND��R�r�pb�O,��e�ކ@qa88�2��|�0=�I�� Forum "Zahlentheorie" - Beweis für modulo-Rechenregeln - MatheRaum - Offene Informations- und Vorhilfegemeinschaft ) eine Voraussetzung erfüllen: Der Leitkoeffizient von sein (insbes. . = a ≡ b mod m ⇒ a n ≡ b n mod m für jedes n ∈ ℕ. [ Sind , einem kommutativen Ring mit ( ... es durch Beweis, Gegenbeispiel oder auch nur durch Argumente, die die aufgestellte These st¨utzen. m {\displaystyle a} m ��ä�)!�ݞ`K�8�OϿU��R>��0��w6��(�0��H�Nñ�NH;|̚_RC�ґN�e�Y ��Y�) ��h8 +nx��-�3��O��r��.�Ҟ��z(2a{�8eųr&د ��F�.��dHw`/�N�v�0��RO�w�tv�&�*ew.�P�r��Td��Y%U�#�哒w��H�.��z��U��@�a��jNa'˳p�s��&}l��!p��a��`(#��l[��=�y۔L a Bei der Division mit Rest für Polynome muss das als Divisor auftretende Polynom = A mod C = R1. Eine derartige Gleichung kann auch einfacher mit Hilfe der in der Zahlentheorie verbreiteten Kongruenzrelation geschrieben werden: sowohl mit als auch ohne die Klammer, und zwar nicht nur, wo dies ohne die Klammer bei Betrachtung als Restoperator stimmen würde, etwa ]� ) Kongruenz (Zahlentheorie) Die Kongruenz ist in der Zahlentheorie eine Beziehung zwischen ganzen Zahlen.Man nennt zwei Zahlen kongruent bezüglich eines Moduls (eine weitere Zahl), wenn sie bei Division durch den Modul denselben Rest haben. Je zwei verschiedene Aquivalenzklassen sind disjunkt. b 6��4��XU��\2�.�ϹL�.c��~L�yKaG�_��q��QT��o�2�%݋k?��b3�F*�u�y�K�r�Wso@pq_w��/��}��\��m�;��v��7ܸ�N1�n�%(UDe5�P:6Äw��$��i�8�.G��UR�U��i�n>v�o]>��ARI ��u�Y�^>�c�,�o�f�P؋�F��x��,�2`�CT��8��K;�Jh�� G�3`�N�4�4Ճ��V��\�]�� I�¼E�g}.B s�As�$W��$��UWgcG��Hp��0�s�Z��>^��~�_�KTendstream geteilt durch folgt nicht F ur x2Z gilt ggT(b;c) = ggT(c;b) = ggT(b; c) = ggT(b;c+ bx): Beweis. a R Rechnen modulo n Wenn man umfangreiche Rechnungen modulo n auszuf uhren hat, dann ist die Homomorphieregel auˇerordentlich hilfreich. berechnet werden soll, so wird gefragt, wie man die Zahl erfüllen. Häufig kann man den Rest an der Dezimaldarstellung ablesen: Ähnliche, wenn auch etwas kompliziertere Regeln existieren für etliche weitere Teiler. q b + Die Division mit Rest oder der Divisionsalgorithmus ist ein mathematischer Satz aus der Algebra und der Zahlentheorie. 3x (mod 13) 0 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10 Wir sehen, dass x 6 (mod 13) die einzige L osung ist. gerade ist, indem man folgende Abfrage durchführt: if ((x mod 2) == 0). . ⋅ X Ist die Zahl m eine Primzahl, so kann man die aus den reellen Zahlen gewohnten Grundrechenarten mit anschließender Modulo-Berechnung anwenden und erhält einen sogenannten endlichen Körper. der so genannte Ganzzahlquotient und a reelle Zahlen, , ] . Bei Division durch 2: Der Rest ist 1, wenn die letzte Ziffer ungerade ist, bzw. b { X {\displaystyle r} Rechts: Ordnen wir die Zahlen auf einem Ring an, so sehen wir, dass die Addition 2 + 4 (mod 5) auf die Äquivalenzklasse 1 (mod 5) führt. b (3) Zwei ganze Zahlen sind genau dann zueinander kongruent modulo 10, wenn sie dieselbe Einer-ziﬀer haben. /Type /Page Unter Verwendung der mathematischen Notation lassen sich diese beiden Aussagen wie folgt schreiben: Stattdessen kann man fordern, dass der Rest, Alternativ kann man aber auch verlangen, dass der Rest, Eine dritte Möglichkeit ist, den betragskleinsten Rest, Kalenderberechnung (die relativ komplizierte Berechnung des, Universität Ulm: "Elementare Zahlentheorie". Satz S1-3 (Rechenregeln für modulare Arithmetik): {\displaystyle g(X)\in R[X]} Man kann etwa prüfen, ob eine gegebene Zahl ist Eine ganze Zahl d {\displaystyle d} heißt ein größter gemeinsamer Teiler zweier ganzer Zahlen a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} , wenn gilt: 2. Im Beispiel Ada hat: Modulo berechnet den Rest {\displaystyle R[X]} ] n b Bei Division durch 10: Der Rest ist die letzte Ziffer. die mathematische. Auch bei vielen Berechnungen und Algorithmen ist der Operator sinnvoll einsetzbar. Es ist zu beachten, dass hierbei der Quotient nicht aus derselben Menge (der reellen Zahlen) genommen wird wie Divisor und Dividend. , So verwenden Ruby, Perl, Python, Excel und der Rechner der Googlesuche die mathematische Variante, wohingegen C, Java, JavaScript und PHP die symmetrische einsetzen, was besonders wichtig bei Portierungen ist. lassen sich durch die schriftliche Division ermitteln. {\displaystyle a} August 2020 um 08:20 Uhr bearbeitet. 1. {\displaystyle x} Unter den vielen Möglichkeiten sind die folgenden drei die interessantesten: Dividiert man negative Zahlen, ergibt sich folgendes Bild: (Hierbei wird für die Wahl von Quotient und Rest zunächst so getan, als gäbe es keine Vorzeichen, sie werden sozusagen nach der „eigentlichen Berechnung wieder hinzugefügt“). a X eine negative ganze Zahl, dann gibt es keine natürlichen Zahlen zwischen 0 und a ) m {\displaystyle f(X)} In der Praxis ergibt sich kein Unterschied zur Verwendung des Kongruenzsymbols. modulus, Kasus Ablativ, also: ‚(gemessen) mit dem (kleinen) Maß (des …)‘; siehe auch wikt:modulo) und kürzt sie meistens mit mod ab. Einige Programmiersprachen und Computeralgebrasysteme tragen dieser Vielfalt von Konventionen Rechnung, indem sie zwei Modulo- oder Rest-Operatoren zur Verfügung stellen. ) q {\displaystyle R} {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,b-1\}} , so ergeben beide Varianten dasselbe Ergebnis. eindeutig bestimmt. Bei Division durch 9: Der Rest ist gleich dem Rest, den die iterierte Quersumme bei Division durch 9 lässt. ( b Man nennt zwei ganze Zahlen $${\displaystyle a}$$ und $${\displaystyle b}$$ kongruent modulo $${\displaystyle m}$$ (= eine weitere Zahl), wenn sie bei der Division durch $${\displaystyle m}$$ beide denselben Rest haben. durch 1 liefert eine ganze Zahl {\displaystyle a{\bmod {m}}=b{\bmod {m}}} m {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } Modulo (mod) Modulo (mod) ist eine mathematische Funktion, die den Rest aus einer Division zweier ganzer Zahlen benennt. der Rest. a {\displaystyle a} (WS 18/19) 2: Restklassen 2.4: Restklassenring mod n 0 X R DIV- und MOD-Befehle bzw. Der Rest ist also die Differenz zwischen dem Dividenden und dem größten Vielfachen des Divisors, das höchstens so groß ist wie der Dividend. 1. } 4 Kongruenz und Modulorechnung 41 Satz 4.1 Zwei Zahlen a und b sind kongruent modulo m genau dann, wenn ihre Differenz a – b durch m teilbar ist. s��ea�cl�/.rً7��~��qR�U'�'0"q�O�#�#��y��Ĩ�:��}�U@8p�s��4��>�M�I2�.bb2k#t��y�ǴT8�T�`�� m�c�A5Ƀm�2a��0-{Ļ Fo��Nw��G̲!A�~2�n#V1Sc��$\� �¼�n�! /Filter /FlateDecode , c Er besagt, dass es zu zwei Zahlen Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von $${\displaystyle m}$$ unterscheiden. Juli 2004 und g 1 Die Division mit Rest (Modulo) wird in der Programmierung relativ häufig verwendet. Die Zahl Um mit Potenzen rechnen zu können, muss man einige Potenzgesetze beherrschen. ( 1 errechnet und wegen der damaligen Rechenungenauigkeit beim Dividieren dann auf den ganzzahligen Wert gerundet. /Font << /F18 6 0 R /F17 9 0 R /F15 12 0 R /F21 15 0 R /F24 18 0 R /F25 21 0 R >> Man kann eine Funktion definieren, die jedem Zahlenpaar a f = und Wie groß der Rest bei einer Division nun ausfällt, ist eigentlich Geschmackssache. 0, wenn die letzte Ziffer gerade ist. Zwei Zahlen a und b heißen inkongruent modulo m, wenn m die Differenz a − bnicht teilt. 0 ist der auf ganze Zahlen gerundete Wert von {\displaystyle b} , die für den Rest , Einige der Fragen werden in den folgenden Kapiteln wieder aufgegriﬀen, und die bis dahin entwickelte Theorie wird genutzt, um die Fragen ganz oder teilweise zu . b m Man sagt auch: Der Dividend ist nicht durch den Divisor teilbar, weshalb ein Rest übrigbleibt. Modulo berechnet den Rest der Division geteilt durch .Man kann eine Funktion definieren, die jedem Zahlenpaar (,) einen eindeutigen Teilerrest zuordnet. Chr.Nelius:Zahlentheorie (SS 2007) 9 §4. ) Quadrieren auf beiden Seiten ergibt k 2 m 2 +2kma+a 2 = l 2 m 2 +2lmb+b 2. Eine beliebige gerade Zahl ist zu einer beliebigen ungeraden Zahl inkongruent modulo 2. {\displaystyle a} {\displaystyle a} 82 4 Modulare Arithmetik Fur¨ p ˛ ˇ bezeichnen wir mit Ù* p:= Ùp ﬂ {0} die multiplikative Gruppe in Ùp.3 Ist p ˛ ˇ eine Primzahl, so wird der Korper¨ Ùp auch mit ¯p4 oder mit GF(p) (Galoisfeld) bezeichnet,5 s. auch Abschnitt 7.4. ó Sitzung 4.2 In Mathematicakonnen¨ wir mittels der … > Des Weiteren muss man in der Programmierung oft auf ganze Vielfache einer Zahl ergänzen (z. {\displaystyle {\bigg (}{\frac {n}{m}}-{\texttt {INT}}\left({\frac {n}{m}}\right){\bigg )}\cdot m} –91– S. Lucks Diskr Strukt. 0 Zu a) a ≡ b mod m bedeutet: Es gibt natürliche Zahlen k,l, sodass km+a=lm+b. Die hier verwendete Schreibweise wird so in Grundschulen und teilweise auch in weiterführenden Schulen verwendet, ist fachwissenschaftlich aber problematisch und nicht ganz korrekt, da sie die Transitivität der Äquivalenzrelation „=“ verletzt. {\displaystyle a=b\cdot c+r} ( I In Zn können wir rechnen wie in Z (!Rechenregeln mod n), bis auf die etwas andere !Kürzungsregel. r /MediaBox [0 0 595.276 841.89] − Es sei a b mod m und c d mod m. Dann gilt a+c b+d mod m a c b d mod m a c b d mod m Die Beweise sind einfach. = Es seien b;c2Z und nicht beide 0. Die Division mit Rest ist auch für Polynome definiert. Lassen wir hierbei auch zu, dass „Schulden“ gemacht werden dürfen, sind beispielsweise alle folgenden Ergebnisse zulässig: Zur Normierung wird in der Mathematik die Konvention verwendet, die Vorzeichen der Reste aus denen der Teiler zu beziehen, wie in den folgenden Beispielen dargestellt: Hierbei kann die Zugehörigkeit einer Zahl zu einer Restklasse direkt am Rest abgelesen werden. {\displaystyle q(X),r(X)\in R[X]} {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}} {\displaystyle n} L osung : Die Aufgabe kann man umformulieren: Es sind alle Restklassen n (mod 7) mit n3 + 2n2 +4 0 (mod 7) gesucht. {\displaystyle b} 2 0 obj << X und (über X Beispiele 3 ≡ 24 m o d 7 3 \equiv 24 \mod 7 3 ≡ 2 4 m o d 7 , denn 7 teilt -21 ( = 3 − 24 = 3 - … Liegt der Divisor fest, so spricht man beispielsweise auch vom Neunerrest einer Zahl, also dem Rest, der sich bei Division dieser Zahl durch neun ergibt. Offen-sichtlich gilt deshalb die Äquivalenz 2 7 (mod 5) 7 2 (mod 5). a X X