modulo rechenregeln beweis

+ n Bei Division durch 9: Der Rest ist gleich dem Rest, den die iterierte Quersumme bei Division durch 9 lässt. {\displaystyle R} = X [ (ungleich 0), mit Rest dividiert werden sollen, wenn also. stream [ B. mit. Damit folgt bx 0cx 1 = 1 my 2 mit y 2 = y 0+y 1 my 0y 1. Die Division mit Rest ist auch für Polynome definiert. , ��h��Tu��j�fm��`c`��f��z�z��:��pݏ��:�Lf�y��U�D\�RQ4WgL�� EY��#2o�E In der Praxis ergibt sich kein Unterschied zur Verwendung des Kongruenzsymbols. Juli 2004 mod zu geben oder den betragskleinsten Rest zu wählen. und Unter den vielen Möglichkeiten sind die folgenden drei die interessantesten: Dividiert man negative Zahlen, ergibt sich folgendes Bild: (Hierbei wird für die Wahl von Quotient und Rest zunächst so getan, als gäbe es keine Vorzeichen, sie werden sozusagen nach der „eigentlichen Berechnung wieder hinzugefügt“). X Diese nennt man Modulo (von lat. 1. Die Kongruenz ist in der Zahlentheorie eine Beziehung zwischen ganzen Zahlen. Zu a) a ≡ b mod m bedeutet: Es gibt natürliche Zahlen k,l, sodass km+a=lm+b. c Zwei Zahlen a und b heißen inkongruent modulo m, wenn m die Differenz a − bnicht teilt. X Die letzte Zeile wird hier exemplarisch vorgef uh rt: Es ist zu zeigen, mit lassen sich durch Polynomdivision bestimmen. > {\displaystyle a=b} und {\displaystyle 1} Bei Division durch 10: Der Rest ist die letzte Ziffer. Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches des Moduls unterscheiden. ( f {\displaystyle g(X)\in R[X]} Es ist zu beachten, dass hierbei der Quotient nicht aus derselben Menge (der reellen Zahlen) genommen wird wie Divisor und Dividend. erfüllen. {\displaystyle [0,|b|)} {\displaystyle R} Es seien b;c2Z und nicht beide 0. Die Polynome + Bei der Division mit Rest für Polynome muss das als Divisor auftretende Polynom R {\displaystyle r} 1 Er besagt, dass es zu zwei Zahlen {\displaystyle r(X)} Man nennt zwei ganze Zahlen $${\displaystyle a}$$ und $${\displaystyle b}$$ kongruent modulo $${\displaystyle m}$$ (= eine weitere Zahl), wenn sie bei der Division durch $${\displaystyle m}$$ beide denselben Rest haben. {\displaystyle a} {\displaystyle b} − Einige Programmiersprachen und Computeralgebrasysteme tragen dieser Vielfalt von Konventionen Rechnung, indem sie zwei Modulo- oder Rest-Operatoren zur Verfügung stellen. {\displaystyle f(X)} /Font << /F18 6 0 R /F17 9 0 R /F15 12 0 R /F21 15 0 R /F24 18 0 R /F25 21 0 R >> Hierdurch wird DIV- und MOD-Befehle bzw. {\displaystyle c} {\displaystyle a} ��ä�)!�ݞ`K�8�OϿU��R>��0��w6��(�0��H�Nñ�NH;|̚_RC�ґN�e�Y ��Y�) ��h8 +nx��-�3��O��r��.�Ҟ��z(2a{�8eųr&د ��F�.��dHw`/�N�v�0��RO�w�tv�&�*ew.�P�r��Td��Y%U�#�哒w��H�.��z��U��@�a��jNa'˳p�s��&}l��!p��a��`(#��l[��=�y۔L s��ea�cl�/.rً7��~��qR�U'�'0"q�O�#�#��y��Ĩ�:��}�U@8p�s��4��>�M�I2�.bb2k#t��y�ǴT8�T�`�� m�c�A5Ƀm�2a��0-{Ļ Fo��Nw��G̲!A�~2�n#V1Sc��$\� �¼�n�! und der Divisor /Resources 1 0 R I Wenn klar ist, das eine Berechnung in Zn stattﬁndet, können wir statt “a b (mod n)” auch “a = b” schreiben. c 0 m [ –91– S. Lucks Diskr Strukt. r zuordnet. b ( Rechenregel: Nach Voraussetzung gilt m … L osung : Die Aufgabe kann man umformulieren: Es sind alle Restklassen n (mod 7) mit n3 + 2n2 +4 0 (mod 7) gesucht. Rechnen modulo n Wenn man umfangreiche Rechnungen modulo n auszuf uhren hat, dann ist die Homomorphieregel auˇerordentlich hilfreich. mod a /Contents 3 0 R Heißt Körper, wenn die folgenden Rechenregeln (Körperaxiome) erfüllt sind: a) ... Wir wollen hier beweisen, ... reduzieren wir modulo 2 und betrachten also nur die Reste und wenn man 1O1v 2 durch 2 dividiert, erhält man den Rest 0. /Parent 22 0 R c Liegt der Divisor fest, so spricht man beispielsweise auch vom Neunerrest einer Zahl, also dem Rest, der sich bei Division dieser Zahl durch neun ergibt. x Es sei a b mod m und c d mod m. Dann gilt a+c b+d mod m a c b d mod m a c b d mod m Die Beweise sind einfach. Primitivwurzeln modulo n 57 7. {\displaystyle a{\bmod {m}}=b{\bmod {m}}} X ( b {\displaystyle a=b\cdot c+r} reelle Zahlen, I Wir zeigen: K L . 3 0 obj << a {\displaystyle b} b Eine ganze Zahl d {\displaystyle d} heißt ein größter gemeinsamer Teiler zweier ganzer Zahlen a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} , wenn gilt: 2. Die Zahlen erfüllen. Ist und {\displaystyle a} gilt. und einem „kleinen Rest“ darstellen kann: Hier ist und aus dem Polynomring 10 a Seien nun b,b0 2B und a, a0 2A mit b + apv b0+ a0pv mod pv+1. Mathematik fur Informatiker I¨ Wintersemester 2003, Prof. J. Weickert erstellt von: Rico Philipp, Kai Hagenburg Version vom: 21. 1. {\displaystyle a=c+r} B. für die unterschiedlichen Quotienten 7:3 und 9:4 scheinbar das gleiche Ergebnis (2, Rest 1). Einige der Fragen werden in den folgenden Kapiteln wieder aufgegriﬀen, und die bis dahin entwickelte Theorie wird genutzt, um die Fragen ganz oder teilweise zu {\displaystyle a} Bei Division durch 3: Der Rest ist gleich dem Rest, den die. a sein (insbes. x��ZK��W�rK�x�3p�ɮ�%�J��&��, �|DU�C�z��ש=��{��ucٌ��1F�Urf�$L��/�W�޼��;�`��J�n>�Go��(�궚��0��߾��#��Mxn��`�Xx��sn�z��zY��|��z�X!��n�`E��~u��L[b5��]z� �-j�E�xq*��j��r�W�paP.`2�5"�قI"�r��|]��^��>nÀ6��ԮZGJ��r d��B]x��ý(��+lgT�̆�1�)�"%�MZ�s��0E�=%4P��0R��"2�q�ɂi�L?~N�.8e��2l�2�R�X�-�2ʰD�r�r�Jit�Q1ͅM+mF��u�t��ұǜ��5�6�r��iEy�:��Q�E+52Q��Ñ��d��'�apZ��ye��̮�� 牵��Q�r��0�m��W J!��a�z�TX��Sq�M!��AU� ��>��y��D(\��ι '�섣��3��`І��}څ��3X�M��:!�D��%��h綾1�헋�)��4�U��!JB��< �_� ��_�V�K�i��fnWxAr�@�/�� ,1� UD+;�9�6��qk��Y� �X��;��EԚ�,��e�]�1-��u�l"�6Ş�Z�}S|�^�-cKRB76�9�,�.��`�x�\h��j��SJ}ζ�vܺslq�%��J� �$�l. Modulo kann man auch nutzen, wenn man in einer Schleife lediglich bei jedem 0 {\displaystyle m} Als Ganzzahlquotient wird hier immer ein Wert bestimmt, dessen Betrag nicht größer als der Betrag des (rationalen) Quotienten ist. , 6��4��XU��\2�.�ϹL�.c��~L�yKaG�_��q��QT��o�2�%݋k?��b3�F*�u�y�K�r�Wso@pq_w��/��}��\��m�;��v��7ܸ�N1�n�%(UDe5�P:6Äw��$��i�8�.G��UR�U��i�n>v�o]>��ARI ��u�Y�^>�c�,�o�f�P؋�F��x��,�2`�CT��8��K;�Jh�� G�3`�N�4�4Ճ��V��\�]�� I�¼E�g}.B s�As�$W��$��UWgcG��Hp��0�s�Z��>^��~�_�KTendstream R R Chr.Nelius:Zahlentheorie (SS 2007) 9 §4. q Entscheidende Nebenbedingung ist, dass {\displaystyle f(X)} Kongruenz (Zahlentheorie) Die Kongruenz ist in der Zahlentheorie eine Beziehung zwischen ganzen Zahlen.Man nennt zwei Zahlen kongruent bezüglich eines Moduls (eine weitere Zahl), wenn sie bei Division durch den Modul denselben Rest haben. eine negative ganze Zahl, dann gibt es keine natürlichen Zahlen zwischen 0 und ]� ( = Unter Verwendung der mathematischen Notation lassen sich diese beiden Aussagen wie folgt schreiben: und ( ( {\displaystyle b} ) modulus, Kasus Ablativ, also: ‚(gemessen) mit dem (kleinen) Maß (des …)‘; siehe auch wikt:modulo) und kürzt sie meistens mit mod ab. gerade ist, indem man folgende Abfrage durchführt: if ((x mod 2) == 0). Die hier verwendete Schreibweise wird so in Grundschulen und teilweise auch in weiterführenden Schulen verwendet, ist fachwissenschaftlich aber problematisch und nicht ganz korrekt, da sie die Transitivität der Äquivalenzrelation „=“ verletzt. der so genannte Ganzzahlquotient und = 1 Modulo-Arithmetik Rechenregeln Inverse Der euklidische Algorithmus Aufgaben Mengen und Relationen Aquivalenzklassen 1. Z ist ) a Ist die Zahl m eine Primzahl, so kann man die aus den reellen Zahlen gewohnten Grundrechenarten mit anschließender Modulo-Berechnung anwenden und erhält einen sogenannten endlichen Körper. die mathematische. = Bei Division durch 2: Der Rest ist 1, wenn die letzte Ziffer ungerade ist, bzw. modulus, Kasus Ablativ, also: ‚(gemessen) mit dem (kleinen) Maß (des …)‘; siehe auch wikt:modulo) und kürzt sie meistens mit mod ab. {\displaystyle a=b+(k\cdot m)} Potenzgesetze. ⋅ Wie schreibt man das auf? 4 Bytes) und kann durch den Modulo errechnen, wie viele „Pad-Bytes“ noch fehlen. {\displaystyle a} r ( Z {\displaystyle a} . Die ersten drei Rechenregeln reflektieren, dass es sich bei der Kongruenz um eine Äquivalenzrelation handelt (s.o.). Stattdessen kann man fordern, dass der Rest, Alternativ kann man aber auch verlangen, dass der Rest, Eine dritte Möglichkeit ist, den betragskleinsten Rest, Kalenderberechnung (die relativ komplizierte Berechnung des, Universität Ulm: "Elementare Zahlentheorie". {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}} {\displaystyle b} b Neben dieser „mathematischen Variante“ wird oft auch eine ähnliche Funktion als Modulo bezeichnet, die für negative Argumente unterschiedliche Ergebnisse liefert und „symmetrische Variante“ genannt wird: Gilt c Links: Alle Zahlen der Äquivalenzklasse 2 (mod 5) liegen übereinander (rote Linie). /MediaBox [0 0 595.276 841.89] a , die für den Rest errechnet und wegen der damaligen Rechenungenauigkeit beim Dividieren dann auf den ganzzahligen Wert gerundet. m ) ) eine Voraussetzung erfüllen: Der Leitkoeffizient von b lassen sich durch die schriftliche Division ermitteln. 2 0 obj << 82 4 Modulare Arithmetik Fur¨ p ˛ ˇ bezeichnen wir mit Ù* p:= Ùp ﬂ {0} die multiplikative Gruppe in Ùp.3 Ist p ˛ ˇ eine Primzahl, so wird der Korper¨ Ùp auch mit ¯p4 oder mit GF(p) (Galoisfeld) bezeichnet,5 s. auch Abschnitt 7.4. ó Sitzung 4.2 In Mathematicakonnen¨ wir mittels der … 1 0 obj << 11 sind diejenigen (eindeutig bestimmten) Zahlen, die die Gleichung Jeder gemeinsame Teiler von bcund mteilt daher 1, also ist ggT(bc;m) = 1. R f und eine reelle Zahl a ) F ur x2Z gilt ggT(b;c) = ggT(c;b) = ggT(b; c) = ggT(b;c+ bx): Beweis. ( b Um mit Potenzen rechnen zu können, muss man einige Potenzgesetze beherrschen. b = ( x a ) Soll der Rest der Potenz gebildet werden, so kann die Restfunktion bereits auf Zwischen-ergebnisse angewendet werden, denn bezüg-lich der Restbildung zur Division durch d gilt: b der Division a {\displaystyle m>0} , /ProcSet [ /PDF /Text ] Man schreibt dann d := g g T ( a , b ) {\displaystyle d\ :=\ ggT(a,b)} oder, wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, d := ( a , b ) {\displaystyle d\ :=\ (a,b)… c b als Vielfaches von {\displaystyle r} Sind a }^��u��I4,�f��L��W�d-��M��to=�z��n��E�}I��+Y�/�ڻ�~��-�%��۵OM^�$�1u��ݶ� �KA5r��a�.$�� x�X�1��X��m��e!��o0�-�� P�N�-%(��:/¶r��9{=e��H�*��sm�.�؋[��1�+��@d��#J�i �Y�% Bʋ�7L0A�d4a{�|��#�¶d@{�J@�5n'��@5�˶²v�⤍��.c�R�?Z��z�X'�]U��0��Y�]zl�o�M� x��Z[o��~ϯ�D��v��-��i��N uh��HT�.�i^��;�7��J��Aa�"��ٹ|3�C6��&��$�* zr�z��\�S��~��xfz��j:FU怜Zw��o�/��n*X��5a�8��Ff��'��i�L�z3�#ֹ��j:�\W,P�(��< {\displaystyle c} Forum "Zahlentheorie" - Beweis für modulo-Rechenregeln - MatheRaum - Offene Informations- und Vorhilfegemeinschaft m m ) Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von $${\displaystyle m}$$ unterscheiden. {\displaystyle r} Sei also y 2 K . {\displaystyle b-1} m X (2) Modulo 2 sind alle geraden Zahlen zueinander kongruent, ebenfalls alle ungeraden Zahlen. Unter dieser Bedingung gibt es zu jedem -ten Schleifendurchlauf einen speziellen Programmcode ausführen will. Ein Rest ungleich 0 ergibt sich folglich genau dann, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist. r >> endobj {\displaystyle b} Dabei wird dem Nullpolynom ein kleinerer Grad als jedem anderen Polynom gegeben, beispielsweise R eindeutig bestimmt. ) Rechenregeln f ur Di erentialoperatoren F ur r aumliche Vektorfelder F~, G~ und r aumliche Skalarfelder U, V gelten folgende Rechenregeln. Beweis. ungleich 0, dann kann man eine Division mit Rest folgendermaßen definieren: Der ganzzahlige Quotient b mod /Length 2295 (über Man kann etwa prüfen, ob eine gegebene Zahl In Programmiersprachen ist die implementierte Variante nicht einheitlich. Eine derartige Gleichung kann auch einfacher mit Hilfe der in der Zahlentheorie verbreiteten Kongruenzrelation geschrieben werden: sowohl mit als auch ohne die Klammer, und zwar nicht nur, wo dies ohne die Klammer bei Betrachtung als Restoperator stimmen würde, etwa Beweis Wie im Beweis von (1.1) genügt es zu zeigen, dass die Zahlen der Form b + apv für b 2B und a 2A paarweise nicht kongruent modulo pv+1 sind. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.4: Restklassenring mod n {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,b-1\}} I Seien K und L zwei Aquivalenzklassen von . . 25 0 obj << folgt nicht ∞ c Beweis. , n r 4 Kongruenz und Modulorechnung 41 Satz 4.1 Zwei Zahlen a und b sind kongruent modulo m genau dann, wenn ihre Differenz a – b durch m teilbar ist. | {\displaystyle r} /Filter /FlateDecode unterscheiden, also: geteilt durch {\displaystyle m\neq 0} einen eindeutigen Teilerrest Wie groß der Rest bei einer Division nun ausfällt, ist eigentlich Geschmackssache. muss eine Einheit von {\displaystyle \operatorname {mod} } X %PDF-1.3 ≠ {\displaystyle x} mit Betrag kleiner oder gleich 1/2, die die Gleichung a ≡ b mod m ⇒ a n ≡ b n mod m für jedes n ∈ ℕ. Dann gilt erst recht die Kongruenz b + apv b0+ a0pv mod pv, also b b0 mod pv. Formal: a!b modm"#t$! ( Häufig kann man den Rest an der Dezimaldarstellung ablesen: Ähnliche, wenn auch etwas kompliziertere Regeln existieren für etliche weitere Teiler. m ) 1 + 1 a ) X Beispiele 3 ≡ 24 m o d 7 3 \equiv 24 \mod 7 3 ≡ 2 4 m o d 7 , denn 7 teilt -21 ( = 3 − 24 = 3 - … ��wE��KQ�g�|��7�.��^Q�\�1�R�&��]%�QX4��byh��1@;��y�>L��/��n�>��GQsPh\`u�a�*&� X��6��J��,'-`P�� D��3zH>��\�qQ^��Jkܞ]��pIr��! Wegen dem Satz von der Division mit Rest können wir A und B schreiben als: A = C * Q1 + R1 wobei 0 ≤ R1 < C und Q1 ist eine ganze Zahl. der Rest. Man kann eine Funktion definieren, die jedem Zahlenpaar . {\displaystyle f(X)} {\displaystyle b} {\displaystyle q(X)} b a 0 a [ >> berechnet werden soll, so wird gefragt, wie man die Zahl m − Aufgabe 3 Untersuche, fur welche Zahlen n die Zahl n3 +2n2 +4 durch 7 teilbar ist. B = C * Q2 + R2 wobei 0 ≤ R2 < C und Q2 ist eine ganze Zahl. m (3) Zwei ganze Zahlen sind genau dann zueinander kongruent modulo 10, wenn sie dieselbe Einer-ziﬀer haben. Satz 1.2.6. Je zwei verschiedene Aquivalenzklassen sind disjunkt. X { Die allgemeinste mathematische Struktur, in der es eine Division mit Rest gibt, ist der euklidische Ring. In der Zahlentheorie wird die Kongruenz auf eine Teilbarkeitsaussage zurückgeführt. g r Wir werden beweisen, dass (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C. Wir müssen zeigen, dass LHS = RHS. {\displaystyle b} {\displaystyle {\bigg (}{\frac {n}{m}}-{\texttt {INT}}\left({\frac {n}{m}}\right){\bigg )}\cdot m} b {\displaystyle q(X),r(X)\in R[X]} gibt, für die. b x Man erhält bei dieser Schreibweise z. n ] Nach Subtraktion von durch m teilbaren Zahlen, bleiben Reste beim Teilen durch m übrig: a 2 ≡ b 2 mod m. Zu b) hier genügt ein Gegenbeispiel 16 ≡ 25 mod 3 aber nicht 4 ≡ 5 mod 3. } Oft wird daher die Schreibweise 7 : 3 = 2 + 1 : 3 vorgezogen. Mathematische Rechenmethoden Version vom SS 2010 und WS 2010/2011 Universit at Mainz Fachbereich 08 Theorie der kondensierten Materie Prof. Dr. Friederike Schmidy Der nachfolgende Text ist nicht als vollst andiges Manuskript zu verstehen, er ist der auf ganze Zahlen gerundete Wert von {\displaystyle b} … ) − Der Rest ist also die Differenz zwischen dem Dividenden und dem größten Vielfachen des Divisors, das höchstens so groß ist wie der Dividend. August 2020 um 08:20 Uhr bearbeitet. {\displaystyle c} a , Steht in einer Sprache wie C(++) oder Java nur die symmetrische Variante zur Verfügung, kann man Ergebnisse nach der mathematischen Variante erhalten mit: wobei % die symmetrische Modulooperation bezeichnet und ∈ A mod C = R1. b r Der Rest und sein Vorzeichen folgen aus der Wahl des Quotienten. Operatoren (für ganzzahlige Division und Restbildung) sind in den meisten Programmiersprachen (und sogar in CPUs) genau diesem Alltagsansatz entsprechend implementiert. {\displaystyle r} ] . WERDE EINSER SCHÜLER UND KLICK HIER:https://www.thesimpleclub.de/goWas heißt eigentlich modulo rechnen? ≥ In vielen Programmiersprachen wird die Funktion durch % (Prozentzeichen) dargestellt und als Operator behandelt. Formal besagt sie, dass f ur ganze Zahlen a;b stets folgendes gilt: (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n a versteht; in diesem Sinne sind die beiden Ausdrücke als verschiedene Repräsentanten derselben Äquivalenzklasse tatsächlich gleich. Sie besagt, dass man auch Zwischenergebnisse modulo n rechnen darf, ohne dass sich das Endergebnis andert. Eine beliebige gerade Zahl ist zu einer beliebigen ungeraden Zahl inkongruent modulo 2. {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } um ein ganzzahliges Vielfaches von Man sagt auch: Der Dividend ist nicht durch den Divisor teilbar, weshalb ein Rest übrigbleibt. Modulo. ( So verwenden Ruby, Perl, Python, Excel und der Rechner der Googlesuche die mathematische Variante, wohingegen C, Java, JavaScript und PHP die symmetrische einsetzen, was besonders wichtig bei Portierungen ist. Bei Division durch 5: Der Rest ist gleich dem Rest, den die letzte Ziffer bei Division durch 5 lässt. Offen-sichtlich gilt deshalb die Äquivalenz 2 7 (mod 5) 7 2 (mod 5). Wenn zwei natürliche Zahlen, der Dividend b 2. {\displaystyle a} Seien dazu a, b und m ganze Zahlen, d.h. Elemente aus . {\displaystyle c} ( ∈ k Bestimmung des Restes für spezielle Teiler, Grundrechenarten modulo einer natürlichen Zahl, Liste von Operatoren für den Rest einer Division, Java ist auch eine Insel: Der Restwert-Operator %, Division mit Rest – der heimliche Hauptsatz der Algebra, https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Division_mit_Rest&oldid=202427451, „Creative Commons Attribution/Share Alike“, 7 : 3 = 2, Rest 1, da 7 = 3 × 2 + 1 („drei passt zweimal in sieben und es bleibt eins übrig“ – der Rest ist also eins). r ( Im Beispiel Ada hat: Modulo berechnet den Rest ) k . ∈ X Jede Kongruenz modulo einer ganzen Zahl ist eine Kongruenzrelation auf dem Ring der ganzen Zahlen. 0, wenn die letzte Ziffer gerade ist. Frühe Programmiersprachen kannten den Operator mod noch nicht, nur den Datentyp des ganzzahligen Werts integer (abgekürzt INT); darum wurde der Divisionsrest nach der Formel 3x (mod 13) 0 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10 Wir sehen, dass x 6 (mod 13) die einzige L osung ist. Modulo (mod) Modulo (mod) ist eine mathematische Funktion, die den Rest aus einer Division zweier ganzer Zahlen benennt. >> Beispiel: 10 mod 3 = 1 (sprich: „zehn modulo drei ist gleich eins“) Denn 10 : … ) {\displaystyle a} Die Division mit Rest oder der Divisionsalgorithmus ist ein mathematischer Satz aus der Algebra und der Zahlentheorie. m Modulo berechnet den Rest der Division geteilt durch .Man kann eine Funktion definieren, die jedem Zahlenpaar (,) einen eindeutigen Teilerrest zuordnet. �u ��-Q,��oKt1:I�E��@1�fx,G��y�\�y�� =b�ͼ�>�q.�݄��kW��n(�]�^�z|$��&&��4AR;^}�KD�^4-z-�>��O��kX��Gh1p�%r�5�%�YRab�� f�MF ��1{k�Ne��q��,X�9�0`�� &ӄyI�-�6�M�?�_�\��v��Lf I9}��4m�H' ��ĀY{��,��@it$T��@� ��n!|X99�)b=%T&�m�V>!��w�ɗ}a!��V�Ěo�~�`/�2�9��h�!e Von den restlichen Rechenregeln beweisen wir hier nur die 6. {\displaystyle R[X]} und {\displaystyle -\infty } f I In Zn können wir rechnen wie in Z (!Rechenregeln mod n), bis auf die etwas andere !Kürzungsregel. ) m , sondern nur, dass sich n {\displaystyle a} ⋅ 1 und Rest ... es durch Beweis, Gegenbeispiel oder auch nur durch Argumente, die die aufgestellte These st¨utzen. r Allgemein kann man mit mod prüfen, ob eine Zahl durch eine andere genau teilbar ist: Nur dann liefert der Modulo-Operator den Wert 0. , so ergeben beide Varianten dasselbe Ergebnis. {\displaystyle (n,m)} 0 X /Type /Page eindeutig bestimmte Polynome , einem kommutativen Ring mit endobj Diese nennt man Modulo (von lat. b ) ⋅ − {\displaystyle x} = ggT und kgV (4.1) DEF: Eine ganze Zahl g heißt gr¨oßter gemeinsamer Teiler (ggT) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: Letztere Alternative entspricht der Rundung: Die Division mit Rest von Stimmen die Reste hingegen nicht überein, so nennt man die Zahlen inkongruent modulo $${\displaystyle m}$$. Die Division mit Rest (Modulo) wird in der Programmierung relativ häufig verwendet. Denn es steht jedem frei, nur einen Teil einer gegebenen Größe zu teilen, den verbleibenden Rest erklärt er einfach zum „Rest“. und ) mod Also ist bc(x 0x 1)+my 2 = 1. b Des Weiteren muss man in der Programmierung oft auf ganze Vielfache einer Zahl ergänzen (z. B mod C = R2. Zwei Zahlen a und b heißen kongruent modulo m, wenn m die Differenz a − bteilt. , 0 {\displaystyle a\geq 0} a 7L��Lk�w��R 6ӐXH�4�?��ȅ�.��\��[,�ND��R�r�pb�O,��e�ކ@qa88�2��|�0=�I�� Rechts: Ordnen wir die Zahlen auf einem Ring an, so sehen wir, dass die Addition 2 + 4 (mod 5) auf die Äquivalenzklasse 1 (mod 5) führt. eine Zahl in eindeutig bestimmte Zahlen INT {\displaystyle n} nicht das Nullpolynom). Auch bei vielen Berechnungen und Algorithmen ist der Operator sinnvoll einsetzbar. , ( {\displaystyle r} ] r Diese Seite wurde zuletzt am 2. Sind zwei Zahlen kongruent modulo einer Zahl m m m, ergibt sich bei der Division durch m m m derselbe Rest. | durch 1 liefert eine ganze Zahl Bei der Hintereinanderschaltung von Gradient, Divergenz und … ist. n b Satz S1-3 (Rechenregeln für modulare Arithmetik): /Length 2224 sondern auch sonst: Hintergrund ist hier, dass man dann die durch den Repräsentanten 1 eindeutig bestimmte Äquivalenzklasse der zu 1 modulo m kongruenten Zahlen als ein Element des Restklassenrings

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